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最新-多元函数微分学--多元隐函数求导-PPT文档资料

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第四节 隐函数微分法 第四节 隐函数及其微分法 一.一个方程的情形 (1)F .(x,y)?0 所确定的隐函数: 上册已经介绍过求导方法 定理1(一元隐函数存在定理) 设F(x,y) 在点 P0(x0, y0) 的某邻域内具有连续偏导数,且 F (x 0,y 0)? 0 ,F y(x 0,y 0)? 0 , 则方程F(x,y)=0在该邻域内恒能 唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x),满足 y0 ?f(x0), 并有: dy ? ? Fx dx F y 证: 因为 F[x,f(x)]?0 两边对x求导: Fx ?Fy ? d d y?0 x ? dy ? ? Fx dx Fy 注:1.若存在二阶连续偏导数,则 d2y dx2 ? ? d( dx Fx Fy ) ??(Fxx?Fxyddyx)FyF?y2(Fyx?Fyyddyx)Fx ??FxxFy2?2FxFyF y3xFy?FyyFx2 2.可推广到二元隐函数. 此公式不实用 (2)F .(x,y,z)?0所确定的隐函数: 定理2 (二元隐函数存在定理) 设F(x,y,z) 在点 P0(x0,y0,z0)的某邻域内具有连续偏导数,且 F (x 0 ,y 0 ,z 0 )? 0 ,F y (x 0 ,y 0 ,z 0 )? 0 ,则方程F(x,y,z)=0在该邻域 内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y),满足 z0?f(x0,y0)并, 有: ?z ??Fx ,?z ??Fy ?x Fz ?y Fz 证: 因为 F [x,y,f(x,y)? ]0 两边分别对 x,y 求偏导: Fx ?Fz ? ?z ?x ?0 ?z Fy ?Fz ? ?y ?0 ??z ??Fx ,?z ??Fy ?x Fz ?y Fz 注意:上述公式和证明方法都可以用做隐函数求导. 例1. z3 ?3xyz?1 求 ? z , ? z ?x ?y 解法一: F(x,y,z)?z3 ?3xyz?1 F x? ? 3 y,F zy? ? 3 x,F zz? 3 z2? 3 xy ??z ??Fx ?x Fz ?z2y?zxy ?z ?y ??Fy Fz xz ? z2 ?xy 解法二: 将 z 视为 x , y 的函数,方程两边分别对 x , y 求偏导 (过程略) 例2.设 y = f ( x, t ),而 t 是由 ?(x,t)?0所确定的函数, 且 ?(x,t)?0可微.求 dy dx x y ?dy??f ??f ?dt dx ?x ?t dx tx 隐函数求导 方程 ?(x,t)?0 两边对 x 求偏导: ?? ?????? dt?0, ?x ?t dx ? dt dx ? ? ?x ?? , ?dy dx ? ?f ?x ? ?? ? ?f ?t ?t ?? ? ?? ?x ?t ?t 例3. x2?y2?z2?4z 求 ? 2z ?x2 F(x,y,z)? x2?y2?z2?4z Fx?2x,Fz?2z?4 ??z ??Fx ? x ?x Fz 2?z ? 2z ?x2 (2 ? z) ? x ?z ??( x ) ? ?x 2? z ?x (2 ? z)2 (2 ? z) ? x? x ? 2?z (2 ? z)2 ? (2 ? z)2 ? (2 ? z)3 x2 注:上述隐函数存在定理及微分法可以推广到方程组情形. 二.方程组情形 例如 ?F(x, y,u,v) ?0 ??G(x, y,u,v) ?0 有可能确定两个二元函数. 存在定理略去,只讨论其微分法. 例4. ?x2 ? ? y2 ? z2 ?1求 ? x?y?z?0 dy , dz . dx dx 各方程两边对x求偏导: ? ? ? ? x ? 1 y ? dy dx dy ? ? z dz dx dz ? ? 0 0 ? dx dx 解方程组得: dy ? z ? x , dz ? x ? y . (y?z?0) dx y ? z dx y ? z 例5. ?u2 ? v ? x ? 0 ??u ? v2 ? y ? 0 求 ?u, ?u, ?v, ?v. ?x ?y ?x ?y 各方程两边对x求偏导: ???? 2 u? u??ux? ?2 ?v ?x v? ? v 1 ? ? 0 0 ? ?x ?x 解方程组得: ?u ? ?2v , ?x 4uv?1 ?v ? 1 ?x 4uv?1 (4uv?1?0) 同理,各方程两边对y求偏导,可得: ?u ? 1 , ?y 4uv?1 ?v ? 2u . ?y 4uv?1 (4uv?1?0) 思考练* 1.设u?f(x,y,z),而y??(x),z?lnx(3?y2). 其中 f,?均为可微函 du数,求 dx 对方程z ?ln(x3 ? y2)两边关于x求导并整理:得 dz dx ? 3x2 ?2y?'(x) x3 ? y2 . 故 du dx ? ?f ?x ? ?f ?y ??'(x) ? ?f ?z ? 3x2 ?2y?'(x) x3 ? y2 . 2 .设 f(x ,y ,z )? x2 z 3 y ,其 z? z ( 中 x ,y ) 由x 2 方 ? y 2 ? z 2 ? 程 5 x? y 0z 确 ,求 fx 定 '( 1 ,1 ,1 ) 对方程 x2 ? y2 ? z2 ? 5xyz ? 0 两边关于x 求导得: 2x ? 2z ?z ? 5yz ? 5xy ?z ? 0. ?x ?x 把x ?1, y ?1, z ?1代入上式得: ?z ?x |(1,1,1) ?



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