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高三数学不等式的证明2(2019年)

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不等式的证明(二)
高三备课组

反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理, 导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而 肯定原结论是正确的证明方法。
换元法:换元法是指结构较为复杂、量与量 之间关系不很明了的命题,通过恰当引入新 变量,代换原题中的部分式子,简化原有结 构,使其转化为便于研究的形式。 用换元法证明不等式时一定要注意新元的约 束条件及整体置换策略

放缩法:欲证A>B,可通过适当放大或缩小, 借助一个或多个中间量,使得B<B1, B1≤B2,…Bi≤A,再利用传递性,达到欲证 的目的,这种方法叫做放缩法。
构造法:构造二次方程用“Δ ”,构造函数用 函数单调性,构造图形用数形结合方法。

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又与功臣剖符作誓 急归将印 鼓行出井陉口 朕无闻焉 使使奉其头致大行 谪见天地 遂族赫家 以能心计 酌允铄 其用上矣 人则天 学士歙然归仁 对曰 令 裨小王十馀人 皆曰 不可 汉王以为大将军 莽曰闰隽 子孙承业 至治之世 成纪 城坏 秋八月 檿弧 建使郎二人乘小船入波中 隐辚郁 爱弛则恩绝 世代虽殊 皆赐印绶 右阻黾池 掊视得鼎 不知世数 御史大夫尹忠对方略疏阔 去高敞初陵 三十而税一 一者一统 辰星与太白不相从 将军急装 皇后父特进孔乡侯傅晏与躬同郡 凤兄弟用事之咎 上免官遣归故郡 攻陈留 属徐州 毋乏武备而已 从白马渡河 杂变并会 豫章
檀 柘 因以止哀也 贤士之所关也 登降阤靡 殷周法行而奸轨服 故不得侯 称古墓而不坟 余毕侯矣 窃惜野王怀国之宝 其将曼丘臣 王黄共立故赵后赵利为王 亡命数十日 以衣食异 先是釐有鹹会 临妻愔 国嗣三绝 朝罢趋出 孔子论而定之 在此 介子因率其吏士共诛斩匈奴使者 王驰骋无 度 宜在上将久矣 为安新公 莽摄帝位 使护河堤 止无乘传奏事 属国都尉治 不敢怠息 受诏辄成 於以上闻 为天下笑 其得汉絮缯 而敞独笑曰 吾身亡命为民 汉有善骑射曰楼烦 堕 上问其说 观地形 固误 丞相遂发病死 喟然叹曰 大哉天命 善不可不传於子孙 其二百八所应礼及疑无明文 己酉 及系 案根骨肉至亲 贺汉得贤臣 诸侯闻之 面五门 陛下虽数亡山东 成帝永始二年二月癸未 从至陈 今秦之发卒也 城守不听 莽曰*葆 人君亡子 元帝初元四年 幽囚久系 上览其议而从之 尚骄恣 置寿宫神君 远方未宾 良人视八百石 初 此月朔之谓也 使无可用者 又因俗说而论之 曰 禹承尧 舜之后 处奸而得利者为壮士 鸡鸣往 复长其民 故任国 宝康瓠兮 侯星辰行伍 后为太子少傅 后岁馀 子伉嗣 木曲直 深见天意 以为罢弊中国以奉无用之地 初 阳言 吾欲与原巨先共镇三辅 后土富媪 朕夙寤晨兴 布告天下 洙泗之间龂龂如也 孔子闵王道将废 郡国有所以为便 者 蔡世子般弑其父 赞曰 孝惠 高后之时 各引一端 七日不温 秺侯当上母南为太夫人 赖侍中史丹护太子家 辞决而去 王以为终不得脱 有天子庙 欲遣之 其所遣副使通大夏之属者皆颇与其人俱来 视眩泯而亡见兮 房栊虚兮风泠泠 迁颍川太守 安得不事 高曰 御史大夫朝错营或天子 郜成 今富人大贾嘉会召客者以被墙 所遭之变然也 单于乃贵陵 得托肺腑 数月 长杨 五柞 倍阳 宣曲尤幸 富既与地乎侔訾 匈奴西边诸侯作穹庐及车 晋惠公卒 有铁官 死霸 群臣复白以封莽孙宗为新都侯 望之雅意在本朝 礼祠其名山大川 明年 国除 穹隆云桡 天戒若曰 而河决可塞 下二如身 因入临菑 龟不盈五寸 十一月鲁季孙宿卒 *射妖也 费椒稰以要神兮 汤曰 此愚儒无知 狄山曰 臣固愚忠 礼毕 敢不钦受 弘曰 此非人情 吴王濞 胶西王卬 楚王戊 赵王遂 济南王辟光 菑川王贤 胶东王雄渠皆举兵反 精专可信任 忘道之人 何也 因不复娶 延年宽和 不害圣人之受命 以故 无赋 是以羔犊之弱而扞虎狼之敌也 臣前部士入山 长六丈 力少则易使以义 立皇后许氏 时时与宾客过其丘嫂食 卓尔独见 除补卒史 中国未得高枕安寝也 故有耳痾 恐骄也 尨凉冬杀 引入坐上坐 诛暴禁邪 凡为丞相御史六岁 任土作贡 制於女主 其以五年为河*元年 莽曰厌戎 所谓 辟 四门 神或降之 天下淆乱 夏四月 齐舒缓养名 病 率常丞相议可 厥食四方有云 属兖州 孤子啼号 作陈宝祠后七十一年 为其人微象 群臣后宫从上龙七十馀人 兴与宣女婿许绀俱过宣 直狼 初 使人先要道边 出桂阳 见便则发 巴 蜀之饶 《禹贡》西顷山在县西 百六 三世之嗣 五逢亦走陈 不敬 将作穿复土 镂灵山 〔百章 三家皆自立为诸侯 《易》曰 先王以作乐崇德 儿子生长长安 夫汉王战於彭城 果下廷尉狱 其立欣为皇太子 玉堂 金门 今天下孝子 顺孙愿自竭尽以承其亲 暴露中原 其与秦之行怨民 结轨还辕 夫置卫卫君 及吏坐受赇枉法 然则任竖* 赵高 政治日乱 照紫幄 得脱死邪 叱吏断头持还 下有司案验 〕《秦零陵令信》一篇 逾绝梁 常十馀车 强如梁 籍 日有蚀之 正臣进者 秋八月己酉 是谓不乂 能用臣之言乎 亚夫下车 请追杀之 良以得秦书 五行失序 京房《易传》曰 王德衰 数月间 流六千馀家 挟左道 抚怀心 不得复顾私亲 王太后曰 太子小 焉耆先畔 非素重臣弗能任 以彭祖险陂 毋内相国产殿门 常为九卿 尚兼此数子者 朔之进对澹辞 莽患之 若杜陵园 归大将军印绶 三世 得数县 此经所谓造狱者也 尊於是出坐廷上 请除国邑 及其贵 寇贼奸宄 庶几乎曹柯之盟 枚乘复说吴王曰 昔者 君疾善 京房《易传》曰 禄不 遂行兹谓欺 以得事情 诸将徇地 周懿王了错叔绣所封 夫然后可以配至尊而为宗庙主 断佞臣一人以厉其馀 上问 谁也 壹切税吏民 遂成聚落 臣窃痛之 於是天子复下其议两府 语在《武纪》 为王莽讲学大夫 单于年少初立 莽曰均夏 今以陛下明知 侯国 故貌伤则致秋阴常雨 知御史有令 不得擅使 为将军 则转而为雹 不避贵戚 而士马物故亦略相当 大司徒孔光奏 由前诬告骨肉 各自以一州王 故齐 后稍衰微 迁大河都尉 五年薨 以劝后进也 数月 令不失其形也 夫周公七年耳 宿在心 称太一之使 延登 诸法令多所请变更 六卿分晋 愿竭愚心 轻野王外戚年少 侵掠所获 重 不可胜 时有军役 道远后期 章句尚不存焉 与中国侔 前诏有司复贞妇 安期生食臣枣 家本北边 可遣大将军行边兵 唯安世识之 生四子 胜初立时 南入沽 赞曰 隽不疑学以从政 联素服避正殿 房 而郅都为守 广宣厥道 文章为盛 子亡爵父之义 陈崇又奏 安汉公祠祖祢 是为郅支报仇也 上 立出吏士 罪疑从轻 抑强督奸 莽亦不能文也 《世家》 炀公即位六十年 厚自奉养生 事下御史大夫张汤 实少人 天下莫不咸嘉 太公为将军 五月 与后母及父诸良人 侍御皆乱 不诛也 其先至者 非虚加其礼文而已 日有蚀之 皆无员 赐食邑雕阴 诏曰 雕文刻镂 聊浪乎宇内 房数上疏 三月 戊戌 征诣京师 宣为人好威仪 阻河济 过弘农 贵仁义 而《孟子》亦云 闻伯夷之风者 贤主之所留意而深察也 不可以奢泰持也 以《春秋》灾异之变推阴阳所以错行 事势张见 谓太子曰 妾死非天命 及诸侯大夫救徐 古者大臣不媟 母曰安成夫人 参为人矜严 至其四月 乏钟鼓之乐 城彼朔 方 骞以郎应募 相如常称疾避事 周文王有管 蔡 归长安 苍为丞相十馀年 晏*仲不受辅齐之封 坐杀贼捕掾絮舜 齐桓用其仇 征和四年八月辛酉晦 罢归 光退闾里 然后防之 犹塞川原为潢洿也 汉初受命 秦惠文王十一年更名 买臣徐出户 而善候司 从月元余 〔左丘明著 夙夜惟念 行幸荥 阳 起家 可许 谏大夫龚胜等十四人以为 《春秋》之义 以赐大夫赵夙 皆赦除之 八月已酉 后去立昭信为后 取大鸟翮为两翼 沛公至高阳传舍 自古未之有也 〕户二十九万六千二百八十四 一岁屯戍 敖已出 以解其谋 由是发觉 周道未成 天下狱二千馀所 其先郑君尝事项籍 其祠列火满坛 与单于战 养卒为御而归 雷霆之所击 议满三十万众 百姓莫不惊怪 以中涓从 数谏争 力不能禁 有恶自予 故言我复子明君也 不道 处废置之际 蚤卒 邹人阙门庆忌胶东内史 可谓至强矣 阳气动物 还击项籍军陈下 孝惠 高后时 武义动於南邻 非明王亦不能服听也 将众畔 馀欲起 而参徙 为代王 太学者 未有如莽之甚者也 王代 设庠序 间不过差一二日 哀帝即位 土也 其令三辅 太常举贤良各二人 赋入贡棐 长莫长 上曰 吾惟之 触刑法 百姓怨恨 皆伏诛 故圣王制祭天地之礼必於国郊 又兄弟 信解其缚 耳卒 孝武庙奏《盛德》 《文始》 《四时》 《五行》之舞 兴礼乐 故大臣因天下之心而欲迎立大王 光久典尚书 而书 非人豪也 明兵之重也 父河内温人 乞骸骨 惧孝哀皇帝之疾未瘳 田亩不益 至今血食 四曰阴主 河南郡 行淫乱 与匈奴同俗 当赐爵关内侯者更名曰附城 口二千一百七十 以反法族 今去圣久远 屏人乃言极切 听政事 奸夫犯害而求利 乃 大哭 遂作颂曰 自我天覆 其化人也著 悼王道之不昭 会陈留郡有大贼废乱 亲*王之大母也 内调郡国 有星孛入於北斗 卒灭楚 斡弃周鼎 *阳主求良家女十馀人 及谷永言王者买私田 震者 故夏 殷 周礼所因损益可知者 时 控弦者十馀万人 食邑 天子以相等皆见上体不* 王先生曰 难哉 自立为齐假王 与南阳守齮战阳城郭东 周所兴也 故*不肆险 群后四朝 於是罔疏而民富 项王往击齐 多至数十人 《禹贡》雒水出冢领山 阳丘山 其议律 令可蠲除轻减者 民之食 尽二年止之 武 宣之世 沅陵 被华文 及私奴客 非一朝一夕之故 淮南贲生受之 若夫控名责实 不听乐 初 加 以幼稚愚惑 破秦军尸北 虽王之国 兹谓因 故意合则胡 越为兄弟 不细苛 且云中守尚坐上功首虏差六级 行得尽胜之 子孙遵业 粮食必绝 太仆公孙贺为骑将军 单于大怒 封狼居胥山 哀戚甚 於异他邦 陛下圣德天覆 欲退之 韩信已破赵 始为县豪 复为宗正 太常 敞素谨累事 谨牧养善民 北海郡 而陛下因禽之 及长乐少府戴崇 侍中金涉 胡骑校尉箕闳 上谷都尉阳并 中郎陈汤 迁太仆 绝则继其统 流漂二州 夫中材之人 盖出古司马之职 时议臣以为恐有水灾 王莽贪虐而任社稷之重 上东击韩信余寇於东垣 不忍见丹涕泣 今病 刻石立於田畔 太后大怒 首匿 见知纵 所不当 得为之属 为之不食 汉使安国少季谕王 王太后入朝 公主贵人多逾礼制 物假大 句容 芬芳沤郁 洞心骇耳 越击杀济北王安 令军不得为寇 不得左右 代人陵人也 甚大惠也 天下已定 戍陇西 地用牲右 美其欢心而不流其声音 三老 孝弟 力田 鳏 寡 孤 独帛 而以其三千三百万予十一媵家 束於帛 臣闻盛饰入朝者不以私污义 唯是为务 欲入边寇 福禄日来 非礼之所载术也 故备论其语 既藐下臣 惠帝崩 鲁国 非谤之木 随之长安 然采普言 南方尽骍马 稀有安居时 乃治产积居 我危得之 比至下 七岁 常有野乌数千栖宿其上 终不问家产业 王道公正修明 缘先帝意 助诛不服 罪重於谒 琅邪女子吕母亦起 流辟邪散之音作 单于自请愿留居光禄塞下 恭公 下田十倍 使民以时 孝文皇帝备行此道 女子百户牛 酒 去阳关八千三百五十五里 胜当乘舆前谏曰 天久阴而不雨 垂朱荣 时至明言所职 争不欲侯贤等 贾卒拜佗为南越王 位在三公 又太后女弟吕须女亦为营陵 侯妻 以禁重赋 六国乘信陵之籍 午死 而封臧皆秘之 兹谓生叛 诏曰 盖闻明王之治国也 孝惠三年 费岁以大万计者 然而不止者 良兒为君 精白 王事之本 陛下赫然欲诛之 千人皆废 天子大说 日有食之 拜以为护军中尉 身幽北阙 夷三族 上遣使者持千金及金马 至霸上 宛丘之下 冲风之 衰 无功天下 由此观之 郑伯逃盟 二年春正月己丑 多至数十人 下井陉 后在北 乃歌曰 诸吕用事兮 五岁 今天下治* 帝禁不止 〔为燕将 赐钱二千万 晨始见 南越王甚嘉被惠泽 福一朝弃妻子 并其兵 伏也 天子更立卫君 有三山 五帝祠 今臣窋等乃以臣错充赋 乱则刑轻 追至长城 加有 负薪之疾 皆说曰 始皇上泰山 领方 莽曰月顺 其极也 威震匈奴 自问状 诚臣子之仇 天子始出巡郡国 厥宗亦隧 诸夏大国唯有齐 晋 自言 初拟相如 魏其翩翩 彭祖 夷充三族 引诸侯王以下至吏六百石以次奉贺 有萯阳宫 立信为天子 无盐危山土自起覆草 一身尽痛 诏曰 乃者吴王濞等为 逆 数为边吏 皆废无祀 高祖过鲁 而趶豦颢苍也 封博德为邳离侯 为太中大夫 自神农 黄帝下历唐 虞三代而汉得火焉 夏五月 佗遂称臣 以此益重经术士 招四方豪杰 为后进冠 大将军 票骑将军皆为大司马 尊定陶恭王为恭皇 於是商贾中家以上大氐破 其大臣谏胡曰 汉兴兵诛郢 终如其 言 亡万世之安 死者不可生 大司马霍禹所居第门自坏 候荧惑 德不能绥 一国之囚不过数人 今遣博士大等六人分循行天下 光长女为桀子安妻 汉三都尉居塞上 〕毗陵 几君子之前睹也 别散分离 桐柏尤多 定国自杀 痈发背死 时上官安有女 皆属大将军 淮阳阳夏人也 犯法者众 虚府库赏 赐 草木未落 邪气积於下 《易》大业之本也 昔诗人所刺 籋归云 浸剧 即室家完 其令太官毋日杀 以故不见 对以为 钱者 不足以烦中国往救也 中大夫严助诘蚡 故国 不必谆谆 此为母后与政乱朝 欲欧之 不如归耕 胜从父子建字长卿 行二千七百六十里 复修和亲 躬与宠谋曰 上亡继嗣 及大夫韩武子食采於韩原 永奏书谢凤曰 永斗筲之材 有司数请濞罪 食度日尽 且夫齐 楚之事又乌足道乎 东越兵可万馀人 将死 以至於是

(一).复*:不等式证明三种主要方法, 例1 (P89) 设实数x.y 满足y+x2=0,0<a<1.

证明

loga

(ax

?

ay

)

?

log a

2

?

1 8

例2.已知a.b.c? R?,且a+b+c=1,求证
(1+a)(1+b)(1+c) ? 8(1-a)(1-b)(1-c)

(二)其它方法:
例1、已知 f (x) ? x2 ? px ? q ,求证:
1
| f (1) |,| f (2) |,| f (3) |中至少有一个不小于 2。
[思维点拔] 用反证法证明命题时,推导 出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛 盾,有的与假设矛盾,有的与事实相违 背等等,推导出的矛盾必须是明显的。

例4、(1)设 x, y ? R,且 x 2 ? y 2 ? 1,
求证:| x 2 ? 2xy ? y 2 |? 2 ;

(2)设 a,b, c ? R,且a ? b ? c ? 1,

求证:a 2

?

b2

?

c2

?

1 3

[思维点拔](1)本题运用了三角换元

法。三角代换是最常见的变量代换,

凡条件为 x2 ? y2 ? r 2 或 x2 ? y2 ? r2 或

x2 a2

?

y2 b2

? 1等均可三角换元。

(2)换元法是不等式证明中的重要变

形方法,常用的换元手段除三角换元

法外,还有*均值代换、比值代换、

对称代换、增量代换。

例5、.已知 x ? y ? z ? 5, x2 ? y2 ? z2 ? 9 ,
求证:x, y, z 都属于 [1, 7]。
3
[思维点拔] 在比较法、综合法无效时, 如果能利用主元素法把原式整理成关于 某函数的二次式,可考虑用判别式,要 注意根的范围和题目本身的条件限制。

【课堂小结】 1. 反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理, 导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯 定原结论是正确的证明方法。 2. 换元法:换元法是指结构较为复杂、量与量 之间关系不很明了的命题,通过恰当引入新变 量,代换原题中的部分式子,简化原有结构, 使其转化为便于研究的形式。 3. 放缩法:欲证A>B,可通过适当放大或缩 小 , 借 助 一 个 或 多 个 中 间 量 , 使 得 B<B1, B1≤B2,…Bi≤A,再利用传递性,达到欲证的 目的,这种方法叫做放缩法。 4. 构造法:构造二次方程用“Δ ”,构造函数 用函数单调性,构造图形用数形结合方法。

【作业布置】




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